Bonjour,

Je suis étudiant en maths et je vais essayer de te donner mon explication à ta question :

On peut écrire les formules des factorielles des premiers nombres entiers :

1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
…
n! = 1 x 2 x … x n

On remarque que pour chaque entier n, la factorielle de n est un produit de n facteurs. Par extension, on voit que la factorielle de 0 est un produit de 0 facteurs. Un tel produit est appelé « produit vide ».

En fait, la convention selon laquelle 0! = 1 est un cas particulier d’une autre convention selon laquelle le produit vide vaut 1. Nous devons donc nous demander quelle est l’origine de cette deuxième convention.

Pour cela, considérons un produit, par exemple 2 x 3. Demandons-nous ce qui se passe si on ajoute un ou plusieurs facteurs à ce produit. Par exemple, si on ajoute les facteurs 4 et 5, on a :

2 x 3 x 4 x 5 = (2 x 3) x (4 x 5) = 6 x 20 = 120.

De même, si on n’ajoute aucun facteur au produit considéré, on a :

2 x 3 = (2 x 3) x (le produit vide) = 6.

On voit que le résultat d’un produit doit rester inchangé si on le multiplie par le résultat du produit vide. Le produit vide doit donc être égal à 1. En effet, 1 est le seul nombre qui, lorsqu’on multiplie un autre nombre par lui, laisse le résultat inchangé : on dit que c’est l’élément neutre de la multiplication.

La convention sur le produit vide permet de généraliser simplement certains résultats mathématiques. Par exemple, les factorielles sont souvent définies par récurrence :

1! = 1
(n + 1)! = (n + 1) (n!)

Avec la convention sur le produit vide (et donc sur la factorielle de 0), la deuxième relation est aussi vérifiée pour n = 0 :

(0 + 1)! = 1! = 1 = (0 + 1) 1 = (0 + 1) 0!

Voilà, j’espère que ça répond un peu à ta question et que ce n’est pas trop technique.